数据结构与算法(2)-算法

一.算法的定义

1.算法定义：

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

二.算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性

1.输入输出

算法具有零个或多个输入 ，至少有一个或多个输出

2.有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成

3.确定性

确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。

4.可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

三.算法设计的要求

1.正确性

(1)定义：

正确性，算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案

(2)算法的“正确”大体分为四个层次：

• 一是算法程序没有语法错误
• 二是算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果
• 三是算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果
• 四是算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果

2.可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

3.健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果

4.时间效率高和存储量低

好的算法还应该具备时间效率高和存储量低的特点，设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求

四.算法效率的度量方法

1.事后统计方法

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低

这种方法有很大缺陷，通常不予采纳

2.事前估计分析方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

(1)一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

• 一是算法采用的策略、方法。
• 二是编译产生的代码质量。
• 三是问题的输入规模。
• 四是机器执行指令的速度

(2)事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率

五.算法时间复杂度.

1.算法时间复杂度定义

(1)定义：

算法时间复杂度表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数

(2)用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

2.推导大O阶方法

推导大O阶方法：

(1)用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

(2)在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

(3)如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。”

3.常数阶O(1)

int sum = 0,n = 100;      /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2;    /* 执行一次 */
printf("%d", sum);        /* 执行一次 */

4.线性阶O(n)

int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}”

5.对数阶O(log₂n)

int count = 1;
while (count < n)
{
    count = count * 2;
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

计算运算次数
由2^x=n得到x=log₂n

6.平方阶O(n²)

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    for (j = 0; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

六.常见的时间复杂度

执行次数	函数阶	非正式术语
15	O(1)	常数阶
2n+5	O(n)	线性阶
3n2+2n+1	O(n2)	平方阶
5log2n+20	O(logn)	对数阶
2n+3nlog2n+19	O(nlogn)	nlog2n
6n3+5n2+2	O(n3)	立方阶
2n	O(2n)	指数阶

(1)常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!)< O(nⁿ)

七.最坏情况与平均情况

(1)平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间

(2)对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度

(3)另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度

八.算法空间复杂度

(1).算法空间复杂度的计算公式记作：

S(n)=O(f(n))
其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数

(2).通常，我们都使用“时间复杂度”来指运行时间的需求，使用“空间复杂度”指空间需求

打赏